Imagine uma esfera cujo centro fica no eixo \(y\) e que passa pelos pontos \[ A = (n-30,\; 10,\; n-20) \] e \[ B = (0,\; -10,\; 0) \]
Qual é o raio da esfera?
Quais são as coordenadas do centro da esfera?
Vamos resolver tudo em função de \(n\).
Vamos chamar o centro de \(C\).
Como \(C\) está no eixo \(y\), suas coordenadas podem ser escritas \(C = (0, k, 0)\). Vamos achar o valor de \(k\).
A distância entre \(A\) e \(C\) é o raio da esfera. Ou seja, o raio é
\[ \sqrt{(0 - n + 30)^2 + (k - 10)^2 + (0 - n + 20)^2} \]
que é igual a
\[ \begin{align*} & \sqrt{(30 - n)^2 + (k - 10)^2 + (20 - n)^2} \\ &= \sqrt{900 - 60n + n^2 + k^2 - 20k + 100 + 400 - 40n + n^2} \\ &= \sqrt{k^2 - 20k + 2n^2 -100n + 1400} \end{align*} \]
Mas a distância entre os pontos \(B\) e \(C\) também é igual ao raio. Como \(B\) e \(C\) estão no eixo \(y\), a distância entre eles é simplesmente o módulo da diferença entre suas coordenadas \(y\):
\[ |k - (-10)| = |k + 10| \]
Igualando estas duas expressões para o raio, temos
\[ \sqrt{k^2 - 20k + 2n^2 -100n + 1400} = |k + 10| \]
Elevando ambos os lados ao quadrado e desenvolvendo:
\[ \begin{align*} k^2 - 20k + 2n^2 - 100n + 1400 &= (k + 10)^2 \iff \\ k^2 - 20k + 2n^2 - 100n + 1400 &= k^2 + 20k + 100 \iff \\ 40k &= 2n^2 - 100n + 1300 \iff \\ k & = \frac{n^2}{20} - \frac{5n}{2} + \frac{65}{2} \end{align*} \]
Então, o centro da esfera é o ponto
\[ C = \left(0,\; \frac{n^2}{20} - \frac{5n}{2} + \frac{65}{2},\; 0\right) \]
O raio é
\[ \left|\frac{n^2}{20} - \frac{5n}{2} + \frac{65}{2} + 10\right| \]
Imagine as retas com as seguintes equações paramétricas \[ r : (2, 1, 0) + \left(\frac1n,\; \frac2n,\; n - 25\right)t \] e \[ s : (1, 1, 1) + \left(\frac2n,\; \frac4n,\; 2n - 50\right)u \]
Quais são as posições relativas de \(r\) e \(s\) (concorrentes, paralelas, coincidentes ou reversas)?
Existe um único plano que contém as duas retas \(r\) e \(s\)? Se sim, qual a equação cartesiana desse plano?
Vamos resolver tudo em função de \(n\).
Um vetor direção de \(r\) é \(\vec{v} = \left(\frac1n, \frac2n, n - 25\right)\). Como \(n\) não pode ser zero, não há problemas aqui.
Um vetor direção de \(s\) é \(\vec{w} = \left(\frac2n, \frac4n, 2n - 50\right)\). Como \(n\) não pode ser zero, não há problemas aqui.
Como \(\vec{w} = 2 \vec{v}\), as retas têm a mesma direção, sendo paralelas ou coincidentes.
Se acharmos um ponto que pertence a \(r\) e não a \(s\), as retas serão não-coincidentes (e, portanto, paralelas).
O ponto \(A = (2, 1, 0)\) pertence a \(r\).
Se \(A\) pertencesse a \(s\), suas coordenadas teriam que satisfazer as equações de \(s\):
\[ s : \begin{cases} 2 &= 1 + \frac2n u\\ 1 &= 1 + \frac4n u\\ 0 &= 1 + (2n - 50) u \end{cases} \]
No entanto, não há valor de \(u\) que torne estas \(3\) igualdades verdadeiras ao mesmo tempo (verifique).
Logo, \(r\) e \(s\) são paralelas.
Quando duas retas são paralelas, sempre vai haver um único plano que as contém.
Para achar a equação cartesiana de um plano, precisamos de um ponto do plano e de um vetor normal ao plano.
O ponto pode ser qualquer ponto que pertença a uma das retas. Das equações paramétricas, podemos tomar \(P = (2, 1, 0)\) ou \(P = (1, 1, 1)\).
Para conseguir um vetor normal ao plano, precisamos de dois vetores paralelos ao plano que sejam LI (ou seja, não paralelos). Não adianta tomar \(\vec v\) e \(\vec w\), porque eles são LD (ou seja, paralelos).
Podemos tomar \(\vec v\) e algum outro vetor que não seja paralelo a \(\vec v\). Uma possível escolha é o vetor que vai de \((2,1,0)\) a \((1,1,1)\). Como estes pontos estão em \(r\) e em \(s\), respectivamente, o vetor não vai ser paralelo a nenhuma das duas retas.
Vamos chamar este vetor de \(\vec p = (1, 0, -1)\).
Uma maneira prática de achar um vetor \(\vec\eta\) que seja normal a \(\vec v\) e a \(\vec p\) ao mesmo tempo é fazer o produto vetorial entre eles:
\[ \vec\eta = \vec v \times \vec p = \left(-{{2}\over{n}},\; n+{{1}\over{n}}-25,\; -{{2}\over{n}} \right) \]
Qualquer vetor múltiplo deste será normal ao plano.
Outra maneira, que não usa o produto vetorial, é resolver o sistema que diz que os seguintes produtos escalares são iguais a zero:
\[ \begin{cases} \vec\eta \cdot \vec v = 0 \\ \vec\eta \cdot \vec p = 0 \end{cases} \]
Chame as coordenadas de \(\vec \eta\) de \((x, y, z)\), use as coordenadas de \(\vec v\) e de \(\vec p\), e resolva o sistema acima. Você vai chegar a um vetor múltiplo de \(\left(-{{2}\over{n}},\; n+{{1}\over{n}}-25,\; -{{2}\over{n}} \right)\).
A equação cartesiana do plano terá as coordenadas deste vetor como coeficientes de \(x\), \(y\) e \(z\):
\[ -{{2}\over{n}}x + \left(n+{{1}\over{n}}-25\right)y -{{2}\over{n}}z - D = 0 \]
O termo \(D\) é calculado como o produto escalar entre \(\vec\eta\) e um ponto qualquer do plano, visto como vetor. Vamos usar \((1, 1, 1)\):
\[ \begin{align*} D &= (1,1,1) \cdot \vec\eta \\ &= -{{2}\over{n}} + n + {{1}\over{n}}-25 - {{2}\over{n}} \\ &= n - {{3}\over{n}} - 25 \end{align*} \]
A equação do plano será
\[ -{{2}\over{n}}x + \left(n+{{1}\over{n}}-25\right)y -{{2}\over{n}}z - \left(n - {{3}\over{n}} - 25\right) = 0 \]