Questão única: construindo uma casa

Considere \(n\) o seu número na lista de alunos da sua turma.

Você vai achar equações para o chão, as paredes e o telhado de uma casa no \(\mathbb{R}^3\).

Em todos os seus cálculos e respostas, use frações e radicais.

Não use valores numéricos com vírgulas decimais em momento algum.

Chão

O chão da casa está no plano que contém o ponto \(A = (1, -1, 0)\) e que é normal ao vetor \(\vec v = \left(1, 1, n\right)\).
Observe que o chão da casa não é horizontal — i.e., não é o plano \(XY\).
Ache a equação cartesiana deste plano.
O chão da casa é um quadrado contido neste plano.
O ponto \(A\) é um dos cantos da casa — i.e., onde o chão e duas das paredes se encontram.
O outro canto da casa é o ponto \(C = \left(-1, 1, 0\right)\).
O segmento \(\overline{AC}\) é a diagonal do chão.
Ache a área do chão da casa.
Ache as coordenadas dos outros dois cantos da sala (pontos \(B\) e \(D\)).

Dica: o que você sabe sobre o ponto \(B\) é o que você precisa para descobrir as suas coordenadas.
1. \(B\) pertence ao plano do chão.
2. A distância de \(A\) a \(B\) é igual ao lado do quadrado.
3. A distância de \(C\) a \(B\) é igual ao lado do quadrado.
Como, a partir destas informações, você vai chegar a uma equação do segundo grau, você também vai ganhar, de presente, as coordenadas de \(D\), que, afinal, é um ponto que também satisfaz as três condições acima!

Para padronizar as respostas, tome como ponto \(B\) o ponto com \(x\) e \(y\) positivos, e como ponto \(D\) o ponto com \(x\) e \(y\) negativos.
Ache as equações paramétricas das quatro retas que são as interseções das paredes com o chão — i.e., as retas que contêm os rodapés da casa.
Neste momento, a situação é a da figura abaixo:

As quatro paredes, como de costume, estão contidas em planos perpendiculares ao chão.
Ache as equações paramétricas destes quatro planos.
A situação agora é esta (limitando os planos das paredes a valores específicos dos parâmetros):
Para gerar cada parede no Geogebra, usei o comando Surface, que recebe três equações paramétricas (de \(x\), de \(y\), e de \(z\)), os nomes dos dois parâmetros, e os valores mínimos e máximos para cada parâmetro.
Você vai ganhar um ponto extra se mostrar, em um vídeo separado (de até 5 minutos), como fazer isso com o comando Surface no Geogebra.
Ou seja, escreva chamadas do comando Surface que desenhem as paredes sem ultrapassar os limites dos cantos da casa e com exatamente \(1\) unidade de altura.

O vetor \(\vec v = \left(1, 1, n\right)\) aponta do chão para o teto.
Como de costume, o teto é paralelo ao chão.
O teto fica a \(1\) unidade de distância do chão.
Ache as coordenadas dos pontos \(A'\), \(B'\), \(C'\) e \(D'\), que são os cantos do teto diretamente acima de \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), respectivamente.

Dica: o vetor \(\overrightarrow{AA'}\) é unitário e tem a mesma direção de um vetor cujas coordenadas você já conhece.
Ache a equação cartesiana do plano que contém o teto.

O telhado é como na figura:
A distância entre o teto e o ponto mais alto do telhado, medida a partir do ponto médio do segmento \(\overline{A'B'}\), é de \(\frac 1 2\) unidade.
Ache as equações cartesianas dos dois planos que contêm os dois lados do telhado.
Ache a equação da reta \(r\), indicada na figura acima, que contém a interseção entre os dois lados do telhado.

Dica: use o produto vetorial.