Lista 1

Probabilidade e Estatística – 2020.1

1 Visualização

1.1 Peso cerebral

Usando o conjunto de dados msleep, construa um histograma da variável brainwt. Escolha o número de classes que você achar melhor. O que acontece com os valores NA?

1.2 Horas de sono \(\times\) peso cerebral

Usando o conjunto de dados msleep, construa um scatter plot de horas de sono versus peso cerebral. Você percebe alguma correlação entre estas variáveis? Se precisar, concentre-se em um subconjunto dos dados.

2 Medidas

2.1 Valor médio e desvio padrão de lançamentos de um dado

• Simule 10 mil lançamentos de um dado não-viciado.

• Calcule a média dos valores obtidos.

• Faça um gráfico (como o do primeiro vídeo sobre probabilidades) do valor médio em função do número do lançamento (i.e., considerando todos os lançamentos anteriores).

2.2 Valores discrepantes

• Escreva uma função que receba um vetor numérico e retorne um vetor contendo os outliers segundo a definição usada para construir boxplots.

• Escreva uma função que receba um vetor numérico e retorne um vetor contendo os valores que estão a 2 ou mais desvios padrão de distância da média.

• Ache um exemplo de vetor numérico que faça as duas funções retornar o mesmo resultado.

2.3 Denominador \(n - 1\) na variância amostral

• Escreva uma função varpop que recebe um vetor numérico e calcula a variância populacional (usando a fórmula com \(N\) no denominador).

• Considere o vetor populacao abaixo:

populacao <- c(1, 4, 10, 15)

• Calcule a variância populacional, usando a sua função varpop.

• Carregue o pacote RcppAlgos. Instale-o se necessário.

• Gere todos os arranjos possíveis de 3 elementos desta população, com reposição. Use a função permuteGeneral. O resultado vai ser uma matriz com 64 linhas. Cada linha corresponde a uma amostra.

• (Variâncias amostrais com denominador \(n\)) Para cada amostra, calcule a variância usando a sua função varpop, guardando os resultados em um vetor. Use a função apply, do R base.

  • Quantas destas variâncias são menores ou iguais à variância da população inteira? Quantas são maiores?

  • Calcule a média das variâncias obtidas. O resultado é maior ou menor do que a variância populacional? Usar \(n\) no denominador da variância amostral superestima ou subestima a variância da população?

• (Variâncias amostrais com denominador \(n - 1\)) Agora, para cada amostra, calcule a variância amostral (com \(n-1\) no denominador), guardando os resultados em outro vetor. Use a função apply, do R base.

  • Quantas destas variâncias são menores ou iguais à variância da população inteira? Quantas são maiores?

  • Calcule a média das variâncias obtidas. O resultado é maior ou menor do que a variância populacional?

3 Probabilidades

3.1 Titanic

1. Qual a probabilidade de um tripulante sobreviver?

2. Qual a probabilidade de um sobrevivente ser tripulante?

3. Qual a probabilidade de um não-tripulante sobreviver?

4. Qual a probabilidade de um sobrevivente não ser tripulante?

3.2 Semanas com mais nascimentos

Imagine que 50% dos nascimentos de um ano aconteçam em um período de 15 semanas, e o restante dos nascimentos seja distribuído de maneira uniforme no restante do ano. Ignore anos bissextos.

Faça simulações como no primeiro vídeo sobre probabilidades (\(2 \leq n \leq 50\)) e construa o gráfico comparando com as probabilidades teóricas (com as premissas originais).

3.3 Pôquer

Uma mão de pôquer consiste de 5 cartas retiradas ao acaso de um baralho de 32 cartas (4 naipes, cada um com cartas 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A).

Calcule as seguintes probabilidades teoricamente e através de simulações.

1. Qual a probabilidade de obter uma mão sem ases?

2. Qual a probabilidade de obter 4 ases?

3. Qual a probabilidade de obter uma sequência (7 a J, 8 a Q, 9 a K, ou 10 a A) de naipes quaisquer?

4. Qual a probabilidade de obter uma sequência (7 a J, 8 a Q, 9 a K, ou 10 a A) do mesmo naipe?

3.4 Dados

Calcule as seguintes probabilidades teoricamente e através de simulações.

1. Você lança um dado não-viciado 6 vezes. Qual a probabilidade de que saiam os 6 números?

2. Idem, se você lançar o dado 10 vezes.

3. Repita os 2 itens acima, para um dado viciado, no qual \[ P(1) = \frac{1}{12}, \quad P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = \frac{1}{6}, \quad P(6) = \frac{3}{12} \]