Lista 2

Probabilidade e Estatística – 2020.1

1 Distância entre bancos

• Segundo o Levantamento do Perfil Antropométrico da População Brasileira Usuária do Transporte Aéreo Nacional, de 2009, a distância glúteo-joelho (ver figura abaixo) do homem brasileiro segue uma distribuição normal com média \(\mu = 60{,}7\)cm e desvio padrão \(\sigma = 3{,}1\)cm.

  

  Em um avião, qual deve ser a distância mínima entre a parte dianteira do encosto de uma poltrona (onde encosta o glúteo) e a parte traseira da poltrona imediatamente à frente (onde encosta o joelho) para que \(95\%\) dos homens brasileiros possam caber sentados conforme a figura abaixo?

  

2 Caixa de mercado

• Em um caixa de um pequeno mercado, o número de clientes que chegam por minuto é, em média, \(4\).

• Vamos representar este número pela variável aleatória \(X\), com suporte \(\{ 0, 1, 2, 3, \ldots \}\).

• As chegadas dos clientes são independentes umas das outras.

• Se você dividir o tempo em intervalos menores do que um minuto, a média se mantém: \(2\) clientes a cada \(30\) segundos, \(1\) cliente a cada \(15\) segundos etc.

• Clientes diferentes não chegam ao caixa no mesmo instante.

• Então, a variável aleatória \(X\) segue a distribuição de Poisson, com média \(\lambda = 4\).

• Faça uma simulação:

  1. Usando rpois, gere uma amostra de \(60\) números, correspondendo a \(1\) hora de funcionamento do caixa.

  2. Escreva uma função em R para processar esta amostra e retornar um vetor de \(60\) elementos: a quantidade de clientes na fila ao final de cada minuto (de \(1\) a \(60\)). Lembre-se de que o caixa processa \(4\) clientes por minuto.

  3. Faça um gráfico do número de clientes na fila ao final de cada minuto, ao longo do tempo.

  4. Usando rpois, agora gere uma amostra de \(60\) números, correspondendo a \(1\) hora de funcionamento do caixa, desta vez com uma média de \(5\) clientes chegando por minuto.

  5. Use a função que você escreveu para processar esta amostra e retornar um vetor com a quantidade de clientes na fila a cada minuto (de \(1\) a \(60\)), supondo que o caixa ainda processa só \(4\) clientes por minuto.

  6. Faça um gráfico do número de clientes na fila ao final de cada minuto, ao longo do tempo.

3 Pessoas canhotas

• Na população, \(12\%\) das pessoas são canhotas.

• Você escolhe \(100\) pessoas ao acaso.

• Em relação ao grupo de pessoas escolhidas:

  1. Qual é a média e o desvio padrão da variável aleatória que representa o número de pessoas destras no grupo?

  2. Qual é a probabilidade de nem todas as pessoas do grupo serem canhotas?

  3. Qual é a probabilidade de haver no máximo \(75\) pessoas destras no grupo?

  4. Qual é a probabilidade de a maioria das pessoas do grupo serem destras?