01: Probabilidade e contagem
Pascal e Fermat
Ver artigo DEVLIN, Keith1.
Ver originais em francês de toda a correspondência de Pascal.
R
Fatoriais e combinações
-
Qual o maior valor de \(n\) para o qual o R calcula
factorial(n)?No meu computador, \(n = 170\):
factorial(170:171)## [1] 7,257416e+306 Inf -
Para valores maiores, podemos usar
lfactorial(n)para calcular \(\ln n!\):lfactorial(170:171)## [1] 706,5731 711,7147 Da mesma forma,
lchoose(n, k)calcula \(\ln \binom nk\).
Tabulando dados: tabulate x table
## [1] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [41] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
## [81] 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [121] 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [161] 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [201] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [241] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [281] 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [321] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
table(b)## b
## 43 50 64 70 74 84 88 95 99 122 130 134 164 183 216 286 291 301 339 355 358
## 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1Exercícios do livro (cap. 1)
13. Superbaralho
A certain casino uses \(10\) standard decks of cards mixed together into one big deck, which we will call a superdeck. Thus, the superdeck has \(52 \cdot 10 = 520\) cards, with \(10\) copies of each card.
How many different \(10\)-card hands can be dealt from the superdeck? The order of the cards does not matter, nor does it matter which of the original \(10\) decks the cards came from. Express your answer as a binomial coefficient.
-
Usando a notação de OLIVEIRA MORGADO, Augusto César de et al2, onde \(\text{CR}_k^n\) é o número de combinações completas de \(n\) elementos de \(k\) tipos diferentes, a resposta é
\[ \text{CR}_{52}^{10} = \binom{52 + 10 - 1}{10} = \binom{61}{10} = 90.177.170.226 \]
Só foi possível usar combinações completas porque a mão tem \(10\) cartas, o que faz com que haja, essencialmente, um número infinito de cópias de cada um dos \(52\) tipos de carta. Se a mão tivesse \(11\) ou mais cartas, seria impossível que todas as cartas fossem iguais, e este raciocínio não poderia ser usado.
42. Palavras sem repetição
A norepeatword is a sequence of at least one (and possibly all) of the usual \(26\) letters a, b, c, …,z, with repetitions not allowed.
For example, “course” is a norepeatword, but “statistics” is not.
Order matters, e.g., “course” is not the same as “source”.
A norepeatword is chosen randomly, with all norepeatwords equally likely. Show that the probability that it uses all \(26\) letters is very close to \(1/e\).
-
O denominador vai ser o total de todas as norepeatwords (NRW), que é a soma de
- NRW de \(1\) letra: \(26\)
- NRW de \(2\) letras: \(26 \cdot 25\)
- NRW de \(3\) letras: \(26 \cdot 25 \cdot 24\)
- \(\dots\)
- NRW de \(24\) letras: \(26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot \cdots \cdot 3\)
- NRW de \(25\) letras: \(26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot \cdots \cdot 2\)
- NRW de \(26\) letras: \(26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot \cdots \cdot 1\)
-
Ou seja,
\[ \sum_{k=0}^{25} \frac{26!}{k!} \]
-
Que é igual a
\[ 26! \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{25!} \right) \]
O total de NRW que usam as \(26\) letras é \(26!\).
-
A probabilidade procurada é
\[ \begin{aligned} P &= \frac{26!}{ 26! \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{25!} \right) } \\ &= \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{25!} } \\ &= \frac1e \end{aligned} \]
-
A última igualdade se justifica porque a série de Taylor para \(e^x\) é
\[ e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \]
-
Numericamente:
1 / exp(1)## [1] 0,3678794## [1] 0,3678794